Razlika med asociativnim in komutativnim

Associative vs Commutative
 

V našem vsakodnevnem življenju moramo uporabljati številke, kadar koli moramo nekaj izmeriti. V trgovini z živili, na bencinski črpalki in celo v kuhinji moramo seštevati, odštevati in pomnožiti dve ali več količin. Iz naše prakse te izračune opravimo precej brez napora. Nikoli ne opazimo in ne dvomimo, zakaj te operacije izvajamo na ta poseben način. Ali zakaj teh izračunov ni mogoče izvesti na drug način. Odgovor se skriva v načinu, kako so te operacije definirane v matematičnem polju algebre.

V algebri je operacija, ki vključuje dve količini (na primer dodajanje), opredeljena kot binarna operacija. Natančneje gre za operacijo med dvema elementoma iz niza in te elemente imenujemo "operand". Številne operacije v matematiki, vključno z omenjenimi aritmetičnimi operacijami in tiste, ki se srečujejo v teoriji množic, linearni algebri in matematični logiki, je mogoče opredeliti kot binarne operacije.

Obstaja nabor pravil, ki se nanašajo na določeno binarno delovanje. Pridružljive in komutativne lastnosti so dve temeljni lastnosti binarnih operacij.

Več o komutativni lastnini

Predpostavimo, da se na elementih izvaja neka binarna operacija, označena s simbolom ⊗ A in B. Če vrstni red operandov ne vpliva na rezultat operacije, naj bi bila operacija komutativna. to je, če A ⊗ B = B ⊗ A potem je operacija komutativna.

Dodajanje in množenje aritmetičnih operacij sta komutativna. Vrstni red števil, seštetih ali pomnoženih skupaj, ne vpliva na končni odgovor:

A + B = B + A     ⇒ 4 + 5 = 5 + 4 = 9

A × B = B × A     ⇒ 4 × 5 = 5 × 4 = 20

Toda v primeru delitve sprememba v vrstnem redu daje vzajemnost drugega, pri odštevanju pa sprememba daje negativnost drugega. Zato,

A - B ≠ B - A     ⇒ 4 - 5 = -1 in 5 - 4 = 1

A ÷ B ≠ B ÷ A     ⇒ 4 ÷ 5 = 0,8 in 5 ÷ 4 = 1,25 [v tem primeru A,B ≠ 1 in 0]

Pravzaprav naj bi bilo odštevanje protikomutativno; kje A - B = - (B - A).

Komutativne so tudi logične vezi, veznica, ločitev, implikacija in enakovrednost. Resnične funkcije so tudi komutativne. Nastavljena operacijska zveza in križišče sta komutativna. Komutacija sta tudi seštevanje in skalarni produkt vektorjev.

Toda vektorsko odštevanje in vektorski produkt nista komutativna (vektorski produkt dveh vektorjev je antikomutativen). Dodajanje matrice je komutativno, vendar množenje in odštevanje nista komutativna. (Pomnožitev dveh matric je lahko komutativna v posebnih primerih, kot je množenje matrice z njeno inverzno ali identitetno matrico; vsekakor pa matrike niso komutativne, če matrike niso enake velikosti)

Več o asociativni lastnini

Binarna operacija naj bi bila asociativna, če vrstni red izvršitve ne vpliva na rezultat, če sta prisotna dva ali več dogodkov operaterja. Upoštevajte elemente A, B in C in binarno delovanje ⊗. Operacija ⊗ naj bi bila asociativna, če

A ⊗ B ⊗ C = A ⊗ (B ⊗ C) = (A ⊗ B) ⊗ C

Od osnovnih aritmetičnih funkcij sta le seštevanje in množenje asociativna.

A + (B + C) = (A + B) + C     ⇒ 4 + (5 + 3) = (5 + 4) + 3 = 12

A × (B × C) = (A × B) × C     ⇒ 4 × (5 × 3) = (5 × 4) × 3 = 60

Odštevanje in delitev nista asociativna;

A - (B - C) ≠ (A - B) - C     ⇒ 4 - (5 - 3) = 2 in (5 - 4) - 3 = -2

A ÷ (B ÷ C) ≠ (A ÷ B) ÷ C     ⇒ 4 ÷ (5 ÷ 3) = 2,4 in (5 ÷ 4) ÷ 3 = 0,2666

Ločitev, konjunkcija in enakovrednost logičnih veznic so asociativni, prav tako tudi združena in presečišča operacij. Matrica in vektorski dodatek sta asociativna. Skalarni produkt vektorjev je asociativen, vektorski produkt pa ne. Matrično množenje je asociativno samo v posebnih okoliščinah.

Kakšna je razlika med komutativno in asociativno lastnino?

• Tako asociativna lastnost kot tudi komutativna lastnost sta posebni lastnosti binarnih operacij in nekatere jih izpolnjujejo, nekatere pa ne.

• Te lastnosti je mogoče opaziti v številnih oblikah algebrskih operacij in drugih binarnih operacij v matematiki, kot so presečišče in zveza v teoriji množic ali logične vezi.

• Razlika med komutativno in asociativno je v tem, da komutativna lastnost navaja, da vrstni red elementov ne spremeni končnega rezultata, medtem ko asociativna lastnost navaja, da vrstni red, v katerem se operacija izvaja, ne vpliva na končni odgovor.