Razlika med aritmetičnimi in geometrijskimi serijami

Aritmetična in geometrijska serija
 

Matematična definicija niza je tesno povezana z zaporedji. Zaporedje je urejen niz števil in je lahko končna ali neskončna množica. Zaporedje števil s konstanto razlike med dvema elementoma je znano kot aritmetična progresija. Zaporedje s konstantnim količnikom dveh zaporednih števil je znano kot geometrijska progresija. Ta napredovanja so lahko končna ali neskončna, in če je končna, je število izrazov mogoče nadomestiti, sicer nešteti.

Na splošno je vsoto elementov v napredovanju mogoče definirati kot niz. Vsota aritmetične progresije je znana kot aritmetična serija. Prav tako je vsota geometrijske progresije znana kot geometrijska serija.

Več o aritmetičnih serijah

V aritmetični vrsti imajo zaporedni izrazi konstantno razliko.

S_n = a₁ + a₂ + a₃ + a₄ +⋯ + a_n = ∑ⁿ_{i = 1} a_jaz ; kje₂ = a₁ + d, a₃ = a₂ + d in tako naprej.

Ta razlika d je znana kot skupna razlika in n^th izraz poda a_n = a₁+ (n-1) d; kje₁ je prvi mandat.

Obnašanje serije se spreminja na podlagi skupne razlike d. Če je skupna razlika pozitivna, ima napredovanje pozitivno neskončnost, če pa je skupna razlika negativna, teži k negativni neskončnosti.

Vsoto serij lahko dobimo po naslednji preprosti formuli, ki jo je prvi razvil indijski astronom in matematik Aryabhata.

S_n = n / 2 (a₁+ a_n ) = n / 2 [2a₁ + (n-1) d]

Vsota S_n lahko končna ali neskončna glede na število izrazov.

Več o Geometric Series

Geometrična serija je serija s količnikom stalnice zaporednih števil. Gre za pomembno vrsto, ki jo najdemo pri preučevanju serije, zaradi lastnosti, ki jih ima.

S_n = ar + ar² + ar³ +⋯ + arⁿ = ∑ⁿ_{i = 1} ar^jaz

Na podlagi razmerja r lahko obnašanje serije razvrstimo na naslednji način. r = | r | ≥1 se razlikuje; r≤1 serija konvergira. Tudi, če r<0 the series oscillates, i.e. the series has alternating values.

Vsoto geometrijskih nizov lahko izračunamo po naslednji formuli. S_n = a (1-rⁿ) / (1-r); kjer je a začetni izraz in r razmerje. Če je razmerje r≤1, se serija zbliža. Pri neskončnem nizu vrednost konvergence poda S_n= a / (1-r).

Geometrične serije imajo številne aplikacije na področju fizikalnih znanosti, inženirstva in ekonomije

Kakšna je razlika med aritmetičnimi in geometrijskimi serijami?

• Aritmetična serija je serija s konstantno razliko med dvema sosednjima izrazoma.

• Geometrična serija je serija s konstantnim količnikom med dvema zaporednima izrazoma.

• Vse neskončne aritmetične serije se vedno razlikujejo, vendar je odvisno od razmerja geometrijska serija lahko konvergentna ali različna.

• geometrijski niz lahko niha v vrednostih; to pomeni, da številke alternativno spreminjajo svoje znake, vendar aritmetični niz ne more imeti nihanj.