Razlika med Riemannom Integralom in Lebesgue Integralom

Riemann Integral proti Lebesgue Integral

Vključitev je glavna tema v računu. V širšem smislu je integracija videti kot obratni proces diferenciacije. Pri modeliranju problemov iz resničnega sveta je enostavno zapisati izraze, ki vključujejo izpeljane. V takšnih razmerah je za iskanje funkcije potrebna funkcija integracije, ki je dala določen izvod.

Z drugega zornega kota je integracija proces, ki povzame produkt funkcije ƒ (x) in δx, pri čemer je δx določena meja. Zato simbol integracije uporabljamo kot ∫. Simbol ∫ je v resnici tisto, kar dobimo z raztezanjem črke s, ki se nanaša na vsoto.

Riemann Integral

Razmislimo o funkciji y = ƒ (x). Sestavni del y med a in b, kje a in b pripadajo množici x, se zapiše kot _b∫^aƒ (x) dx = [F(x)]_a→b = F(b) - F(a). Temu pravimo določen integral enotne vrednosti in zvezne funkcije y = ƒ (x) med a in b. Tako dobimo območje pod krivuljo med a in b. Temu pravimo tudi Riemannov integral. Riemannov integral je ustvaril Bernhard Riemann. Riemannov integral neprekinjene funkcije temelji na jordanskem ukrepu, zato je opredeljen tudi kot meja Riemannovih vsot funkcije. Za resnično vrednoteno funkcijo, določeno v zaprtem intervalu, je Riemannov integral funkcije glede na particijo x₁, x₂,…, X_n definirano na intervalu [a, b] in t₁, t₂,…, T_n, kjer je x_jaz ≤ t_jaz ≤ x_{i + 1} za vsak i ε 1, 2,…, n je Riemannova vsota določena kot Σ_{i = o do n-1} ƒ (t_jaz) (x_{i + 1} - x_jaz).

Lebesgue Integral

Lebesgue je še ena vrsta integral, ki zajema veliko različnih primerov kot Riemannov integral. Integral lebesgue je Henri Lebesgue uvedel leta 1902. Legesgue integracijo lahko štejemo kot posplošitev Riemannove integracije.

Zakaj moramo preučiti še en integral?

Razmislimo o značilni funkciji ƒ_{A (x) = 0, če, x ne ε A}^{1 če, x ε A} na množici A. Nato končna linearna kombinacija karakterističnih funkcij, ki je definirana kot F(x) = Σ a_jazƒE_jaz(x) se imenuje preprosta funkcija, če E_jaz je merljivo za vsako i. Lebesgue integral of F(x) nad E je označen s _E∫ ƒ (x) dx. Funkcija F(x) ni Riemann združljiv. Zato je Lebesgueov integralni izraz Riemannov integral, ki ima nekatere omejitve glede funkcij, ki jih je treba vključiti.