Razlika med naključnimi spremenljivkami in verjetnostno porazdelitvijo

Naključne spremenljivke in verjetnostna porazdelitev

Statistični poskusi so naključni poskusi, ki jih je mogoče ponavljati v nedogled z znanim nizom rezultatov. S takšnimi poskusi sta povezana tako naključna spremenljivka kot verjetnostna porazdelitev. Za vsako naključno spremenljivko obstaja povezana porazdelitev verjetnosti, ki jo definira funkcija, imenovana funkcija kumulativne porazdelitve.

Kaj je naključna spremenljivka?

Naključna spremenljivka je funkcija, ki rezultatom statističnega eksperimenta dodeli številčne vrednosti. Z drugimi besedami, gre za funkcijo, določeno iz vzorčnega prostora statističnega eksperimenta v množico realnih števil.

Na primer, razmislite o naključnem poskusu, kako dvakrat vrteti kovanec. Možni rezultati so HH, HT, TH in TT (glave H, T - zgodbe). Naj bo spremenljivka X število glav, opaženih v poskusu. Nato lahko X sprejme vrednosti 0, 1 ali 2 in je naključna spremenljivka. Tukaj bo naključna spremenljivka X preslikala množico S = HH, HT, TH, TT (vzorčni prostor) v množico 0, 1, 2 tako, da se HH preslika na 2, HT in TH so preslikani na 1 in TT preslikani na 0. V zapisu funkcije lahko to zapišemo kot: X: S → R, kjer je X (HH) = 2, X (HT) = 1, X (TH) = 1 in X ( TT) = 0.

Obstajata dve vrsti naključnih spremenljivk: diskretna in neprekinjena, zato je število možnih vrednosti, za katere naključna spremenljivka lahko domneva, da jih je največ mogoče šteti ali ne. V prejšnjem primeru je naključna spremenljivka X diskretna naključna spremenljivka, saj je 0, 1, 2 končna množica. Zdaj razmislite o statističnem eksperimentu ugotavljanja uteži učencev v razredu. Naj je Y naključna spremenljivka, določena kot teža učenca. Y lahko v določenem intervalu vzame katero koli resnično vrednost. Zato je Y neprekinjena naključna spremenljivka.

Kaj je verjetnostna porazdelitev?

Porazdelitev verjetnosti je funkcija, ki opisuje verjetnost naključne spremenljivke, ki sprejme določene vrednosti.

Funkcijo, imenovano funkcija kumulativne porazdelitve (F), lahko določimo iz množice realnih števil v množici resničnih števil kot F (x) = P (X ≤ x) (verjetnost X je manjša ali enaka x) za vsak možni izid x. Zdaj lahko kumulativno porazdelitveno funkcijo X v prvem primeru zapišemo kot F (a) = 0, če je a<0; F(a)=0.25, if 0≤a<1; F(a)=0.75, if 1≤a<2 and F(a)=1, if a≥2.

V primeru diskretnih naključnih spremenljivk je mogoče določiti funkcijo iz nabora možnih izidov v množico realnih števil tako, da je ƒ (x) = P (X = x) (verjetnost X je enaka x) za vsak možni rezultat x. To posebno funkcijo ƒ imenujemo funkcija verjetnostne mase naključne spremenljivke X. Zdaj lahko verjetnostno masno funkcijo X v prvem določenem primeru zapišemo kot ƒ (0) = 0,25, ƒ (1) = 0,5, ƒ (2) = 0,25 in ƒ (x) = 0 v nasprotnem primeru. Tako bo funkcija verjetnostne mase skupaj s funkcijo kumulativne porazdelitve opisala verjetnostno porazdelitev X v prvem primeru.

Pri neprekinjenih naključnih spremenljivkah lahko funkcijo, imenovano funkcijo gostote verjetnosti (ƒ), definiramo kot ƒ (x) = dF (x) / dx za vsak x, kjer je F funkcija kumulativne porazdelitve neprekinjene naključne spremenljivke. Lahko vidimo, da ta funkcija izpolnjuje ∫ƒ (x) dx = 1. Funkcija gostote verjetnosti skupaj s funkcijo kumulativne porazdelitve opisuje verjetnostno porazdelitev neprekinjene naključne spremenljivke. Na primer, normalna porazdelitev (ki je neprekinjena porazdelitev verjetnosti) je opisana z uporabo funkcije gostote verjetnosti ƒ (x) = 1 / √ (2πσ²) e ^ ([(x-µ)]²/ (2σ²)).