Razlika med vzajemno izključujočimi in neodvisnimi dogodki

Vzajemno ekskluzivni in neodvisni dogodki

Ljudje pogosto zamenjujejo pojem medsebojno izključujočih dogodkov z neodvisnimi dogodki. V resnici gre za dve različni stvari.

Naj bosta A in B vsaka dva dogodka, povezana z naključnim poskusom E. P (A) se imenuje "verjetnost A". Podobno lahko določimo verjetnost B kot P (B), verjetnost A ali B kot P (A∪B), verjetnost A in B pa kot P (A∩B). Potem je P (A∪B) = P (A) + P (B) -P (A∩B).

Vendar pa se za dva dogodka reče, da se medsebojno izključujeta, če pojav enega dogodka ne vpliva na drugega. Z drugimi besedami, ne morejo se pojaviti hkrati. Če sta torej dva dogodka A in B medsebojno izključujoča, potem sta A∩B = ∅ in s tem to pomeni P (A∪B) = P (A) + P (B).

Naj bosta A in B dva dogodka v vzorčnem prostoru S. Pogojna verjetnost A, glede na to, da se je B zgodila, je označena s P (A | B) in je opredeljena kot; P (A | B) = P (A∩B) / P (B), pod pogojem, da je P (B)> 0. (v nasprotnem primeru ni določeno.)

Kaže se, da dogodek A ni odvisen od dogodka B, če na verjetnost, da se A pojavi, ne vpliva, ali se je B zgodil ali ne. Z drugimi besedami, izid dogodka B ne vpliva na izid dogodka A. Zato je P (A | B) = P (A). Podobno je B neodvisen od A, če je P (B) = P (B | A). Zato lahko sklepamo, da če sta A in B neodvisna dogodka, potem sta P (A∩B) = P (A) .P (B)

Predpostavimo, da je oštevilčena kocka zvit in pošten kovanec. Naj bo A dogodek, da je pridobitev glave in B dogodek, ki potegne sodo število. Potem lahko sklepamo, da sta dogodka A in B neodvisna, saj ta izid enega ne vpliva na izid drugega. Zato je P (A∩B) = P (A) .P (B) = (1/2) (1/2) = 1/4. Ker P (A∩B) ≠ 0, A in B se ne moreta medsebojno izključevati.

Recimo, da urna vsebuje 7 belih marmorjev in 8 črnih marmorjev. Določite dogodek A kot risanje belega marmorja in dogodek B kot risanje črnega marmorja. Če predpostavimo, da bo vsak marmor zamenjan, potem ko zapišemo njegovo barvo, bosta P (A) in P (B) vedno enaka, ne glede na to, kolikokrat črpamo iz urne. Zamenjava marmorja pomeni, da se verjetnosti ne spreminjajo od žreba do žreba, ne glede na to, katero barvo smo izbrali na zadnjem žrebu. Zato sta dogodka A in B neodvisna.

Če pa so marmorje risali brez zamenjave, potem se vse spremeni. Po tej domnevi dogodka A in B nista neodvisna. Risba belega marmorja prvič spremeni verjetnost za risanje črnega marmorja na drugem žrebu ipd. Z drugimi besedami, vsak žreb vpliva na naslednji žreb, zato posamezni žrebi niso neodvisni.