Razlika med linearnimi in nelinearnimi diferencialnimi enačbami

Linearne v primerjavi z nelinearnimi diferencialnimi enačbami
 

Enačba, ki vsebuje vsaj en diferenčni koeficient ali izpeljanko neznane spremenljivke, je znana kot diferencialna enačba. Diferencialna enačba je lahko linearna ali nelinearna. Obseg tega članka je razložiti, kaj je linearna diferencialna enačba, kaj je nelinearna diferencialna enačba in kakšna je razlika med linearnimi in nelinearnimi diferencialnimi enačbami.

Od nastanka računa v 18. stoletju s strani matematikov, kot sta Newton in Leibnitz, je diferencialna enačba igrala pomembno vlogo v zgodbi matematike. Diferencialne enačbe so zaradi matematike velikega pomena za matematiko. Diferencialne enačbe so v središču vsakega modela, ki ga razvijemo za razlago katerega koli scenarija ali dogodka na svetu, ali gre za fiziko, inženirstvo, kemijo, statistiko, finančno analizo ali biologijo (seznam je neskončen). V resnici, dokler računanje ni postalo uveljavljena teorija, niso bila na voljo ustrezna matematična orodja za analizo zanimivih problemov v naravi.

Rezultat enačb iz posebne uporabe računa je lahko zelo zapleten in včasih nerešljiv. Vendar obstajajo tisti, ki jih lahko rešimo, vendar so lahko videti podobni in zmedeni. Zato so za lažjo identifikacijo diferencialne enačbe razvrščene po matematičnem obnašanju. Linearna in nelinearna je ena takšnih kategorizacij. Pomembno je ugotoviti razliko med linearnimi in nelinearnimi diferencialnimi enačbami.

Kaj je linearna diferencialna enačba?

Predpostavimo, da f: X → Y in f (x) = y, a diferencialna enačba brez nelinearnih izrazov neznane funkcije y in njeni derivati ​​so znani kot linearna diferencialna enačba.

Pogoj določa, da y ne more imeti izrazov višjega indeksa, kot je y², y³,… In več derivatov, kot so 

Prav tako ne more vsebovati nelinearnih izrazov, kot je Sin y, e^{y^ -2}, ali ln y. V obliki je, 

kje y in g so funkcije x. Enačba je diferencialna enačba reda n, kar je indeks izpeljane skupine najvišjega reda.

V linearni diferencialni enačbi je diferencialni operator linearni operator in rešitve tvorijo vektorski prostor. Zaradi linearne narave nabora rešitev je linearna kombinacija raztopin tudi rešitev diferencialne enačbe. Se pravi, če y₁ in y₂ so torej rešitve diferencialne enačbe C₁ y₁+ C₂ y₂ je tudi rešitev.

Linearnost enačbe je le en parameter razvrstitve in jo lahko nadalje razvrstimo v homogene ali nehomogene in navadne ali delne diferencialne enačbe. Če je funkcija g= 0, potem je enačba linearna homogena diferencialna enačba. Če f je funkcija dveh ali več neodvisnih spremenljivk (f: X, T → Y) in f (x, t) = y , potem je enačba linearna parcialna diferencialna enačba.

Rešitev diferencialne enačbe je odvisna od vrste in koeficientov diferencialne enačbe. Najlažji primer nastane, ko so koeficienti stalni. Klasičen primer tega primera je Newtonov zakon o gibanju in njegove različne uporabe. Newtonov drugi zakon proizvaja linearno diferencialno enačbo drugega reda s konstantnimi koeficienti.

Kaj je nelinearna diferencialna enačba?

Enačbe, ki vsebujejo nelinearne izraze, so znane kot nelinearne diferencialne enačbe.

 

Vse zgoraj so nelinearne diferencialne enačbe. Nelinearne diferencialne enačbe je težko rešiti, zato je za natančno rešitev potreben natančen študij. V primeru delnih diferencialnih enačb večina enačb nima splošne rešitve. Zato je treba vsako enačbo obravnavati neodvisno.

Navier-Stokesova enačba in Eulerjeva enačba v dinamiki tekočin, Einsteinova polja enačbe splošne relativnosti so dobro znane nelinearne parcialne diferencialne enačbe. Včasih lahko uporaba Lagrangesove enačbe v spremenljivem sistemu povzroči sistem nelinearnih delnih diferencialnih enačb.

Kakšna je razlika med linearnimi in nelinearnimi diferencialnimi enačbami?

• Diferencialna enačba, ki ima samo linearne izraze neznane ali odvisne spremenljivke in njenih derivatov, je znana kot linearna diferencialna enačba. Nima izraza z odvisno spremenljivko indeksa, ki je višji od 1, in ne vsebuje večkratnih njegovih izpeljanih finančnih instrumentov. Ne more imeti nelinearnih funkcij, kot so trigonometrične funkcije, eksponentna funkcija in logaritmične funkcije glede na odvisno spremenljivko. Vsaka diferencialna enačba, ki vsebuje zgoraj omenjene izraze, je nelinearna diferencialna enačba.

• Rešitve linearnih diferencialnih enačb ustvarjajo vektorski prostor, diferencialni operater pa je tudi linearni operator v vektorskem prostoru.

• Rešitve linearnih diferencialnih enačb so relativno lažje in obstajajo splošne rešitve. Za nelinearne enačbe splošna rešitev v večini primerov ne obstaja in je rešitev lahko specifična. Zaradi tega je rešitev veliko težja od linearnih enačb.