Razlika med Laplaceovimi in Fourierjevimi transformacijami

Laplace vs Fourier Transforms
 

Laplaceova in Fourierjeva transformacija sta integralni pretvorbi, ki se najpogosteje uporabljata kot matematične metode za reševanje matematično modeliranih fizičnih sistemov. Postopek je preprost. Kompleksni matematični model se pretvori v preprostejši in rešljiv model z uporabo integralne pretvorbe. Ko je preprostejši model rešen, se uporabi inverzna integralna transformacija, ki bi nudila rešitev prvotnemu modelu.

Na primer, ker večina fizičnih sistemov povzroči diferencialne enačbe, jih je mogoče pretvoriti v algebarske enačbe ali v nižjo stopnjo enostavno rešljivih diferencialnih enačb z uporabo integralne pretvorbe. Potem bo reševanje problema postalo lažje.

Kaj je Laplaceova preobrazba?

Glede na funkcijo f (t) realne spremenljivke t, njegova Laplaceova transformacija je določena s integralom (kadar koli obstaja), kar je funkcija zapletene spremenljivke s. Običajno ga označujemo z L f (t). Inverzna Laplasova preobrazba funkcije F(s) se vzame kot funkcija f (t) tako, da je L f (t) = F(s), in v običajni matematični zapis zapišemo, L ^-1F(s) = f (t).Inverzna pretvorba je lahko edinstvena, če ničelne funkcije niso dovoljene. Ta dva lahko prepoznamo kot linearne operaterje, opredeljene v funkcionalnem prostoru, in to je tudi enostavno videti, L ^-1L f (t) = f (t), če ničelne funkcije niso dovoljene.

Naslednja tabela prikazuje Laplaceove preobrazbe nekaterih najpogostejših funkcij.

Kaj je Fourierjeva preobrazba?

Glede na funkcijo f (t) realne spremenljivke t, njegova Laplaceova transformacija je določena s integralom (kadar koli obstaja) in jo običajno označujemo s F f (t). Inverzna pretvorba F ^-1F(α) je podana s integralom . Fourierova preobrazba je tudi linearna in jo je mogoče obravnavati kot operaterja, definiranega v funkcionalnem prostoru.

S pomočjo Fourierove preobrazbe lahko prvotno funkcijo zapišemo na naslednji način, če ima funkcija le omejeno število prekinitev in je popolnoma združljiva.

Kakšna je razlika med Laplaceovim in Fourierjevim preoblikovanjem?

• Fourierova preobrazba funkcije f (t) je opredeljeno kot , ker je predelava laplasa določena kot .
• Fourierova transformacija je določena samo za funkcije, definirane za vsa realna števila, medtem ko za Laplaceovo preobrazbo ni treba določiti funkcije na nastavljenih negativnih realnih številkah.
• Fourierjeva transformacija je poseben primer Laplaceove transformacije. Vidimo, da se obe ujemata za negativna realna števila. (t.j. vzemite s v Laplaceu biti iα + β kje α in β so res takšni, da e ^β= ¹/_{√ (2ᴫ)})
• Vsaka funkcija, ki ima Fourierovo transformacijo, bo imela Laplaceovo preobrazbo, ne pa obratno.