Razlika med integracijo in seštevanjem

Integracija proti seštevanju
 

V zgornji srednješolski matematiki se v matematičnih operacijah pogosto nahajajo integracija in seštevanje. Na videz se uporabljajo kot različna orodja in v različnih situacijah, vendar imajo zelo tesne odnose.

Več o povzetku

Seštevanje je operacija dodajanja zaporedja števil in operacija je pogosto označena z grško črko velike črke sigma Σ. Uporablja se za okrajšanje seštevanja in je enako vsoti / seštevku zaporedja. Pogosto jih uporabljajo za predstavljanje serij, ki so v bistvu neskončne sekvence, povzete. Uporabite jih lahko tudi za označevanje vsote vektorjev, matric ali polinomov.

Seštevanje se običajno izvede za obseg vrednosti, ki jih je mogoče predstaviti s splošnim pojmom, kot je niz, ki ima skupni izraz. Izhodiščna in končna točka seštevanja sta znani kot spodnja in zgornja meja seštevanja.

Na primer, vsota zaporedja a₁, a₂, a₃, a₄, …, A_n je₁ + a₂ + a₃ +… + A_n ki jih je mogoče enostavno predstaviti z uporabo seštevnega zapisa kot ∑ⁿ_{i = 1} a_jaz; i se imenuje indeks seštevanja.

Za seštevek, ki temelji na aplikaciji, se uporablja veliko različic. V nekaterih primerih sta zgornja in spodnja meja lahko podana kot interval ali razpon, kot je ∑_1≤i≤100 a_jaz in ∑_{i∈ [1.100]} a_jaz. Lahko pa ga damo kot niz števil, kot je ∑_i∈P a_jaz , kjer je P definiran niz.

V nekaterih primerih se lahko uporabljata dva ali več znakov sigme, vendar jih je mogoče posplošiti na naslednji način; ∑_j ∑_k a_jk = ∑_{j, k} a_jk.

Tudi seštevanje sledi številnim algebrskim pravilom. Ker je vdelana operacija dodatek, se lahko za skupne vsote in za posamezne izraze, ki jih prikazuje vsota, uporabi veliko splošnih pravil algebre..

Več o integraciji

Integracija je opredeljena kot obratni proces diferenciacije. Toda v svojem geometrijskem pogledu je mogoče šteti tudi za območje, ki ga obdaja krivulja funkcije in os. Zato izračun površine daje vrednost določenega integralnega dela, kot je prikazano na diagramu.

Vir slik: http://sl.wikipedia.org/wiki/File:Riemann_sum_convergence.png

Vrednost določenega integral je pravzaprav vsota majhnih trakov znotraj krivulje in osi. Površina vsakega traku je višina × širina v točki na obravnavani osi. Širina je vrednost, ki jo lahko izberemo, recimo ∆x. In višina je približno vrednost funkcije v obravnavani točki, recimo f(x_jaz). Iz diagrama je razvidno, da so manjši trakovi boljši, da se trakovi prilegajo znotraj omejenega območja, torej boljši približek vrednosti.

Torej na splošno definitivni integral jaz, med točkama a in b (to je v intervalu [a, b], kjer je ajaz ≅ f(x₁) ∆x + f(x₂) ∆x + ⋯ + f(x_n) ∆x, kjer je n število trakov (n = (b-a) / ∆x). To povzemanje območja je mogoče enostavno predstaviti z uporabo seštevnega zapisa kot jaz ≅ ∑ⁿ_{i = 1} f(x_jaz) ∆x. Ker je približek boljši, ko je ∆x manjši, lahko vrednost izračunamo, ko je ∆x → 0. Zato je smiselno reči jaz = lim_{∆x → 0} ∑ⁿ_{i = 1} f(x_jaz) ∆x.

Kot posplošitev iz zgornjega koncepta lahko izberemo ∆x na podlagi obravnavanega intervala, indeksiranega s i (izbira širine območja glede na položaj). Potem dobimo

jaz= lim_{∆x → 0} ∑ⁿ_{i = 1} f(x_jaz) ∆x_jaz = _a∫^b f(x) dx

To je znano kot Reimannova integrala funkcije f(x) v intervalu [a, b]. V tem primeru sta a in b znana kot zgornja in spodnja meja integral. Reimannov integral je osnovna oblika vseh načinov integracije.

V bistvu je integracija seštevanje območja, ko je širina pravokotnika neskončno majhna.

Kakšna je razlika med integracijo in seštevanjem?

• Seštevanje je seštevanje zaporedja števil. Običajno je povzetek podan v tej obliki ∑ⁿ_{i = 1} a_jaz kadar imajo izrazi v zaporedju vzorec in jih je mogoče izraziti s splošnim izrazom.

• Integracija je v osnovi območje, ki ga omejuje krivulja funkcije, os in zgornja in spodnja meja. To območje lahko damo kot vsoto veliko manjših površin, vključenih v omejeno območje.

• Seštevanje vključuje diskretne vrednosti z zgornjim in spodnjim robom, medtem ko integracija vključuje neprekinjene vrednosti.

• Integracijo je mogoče razlagati kot posebno obliko seštevanja.

• V numeričnih metodah računanja se integracija vedno izvede kot povzetek.