Razlika med izpeljanimi in diferencialnimi

Izvedeni in diferencialni
 

V diferencialnem računu sta izpeljana in diferencialna funkcija tesno povezana, vendar imata zelo različen pomen in se uporabljata za predstavljanje dveh pomembnih matematičnih predmetov, povezanih z različnimi funkcijami.

Kaj je izpeljanka?

Izvedba funkcije meri hitrost, s katero se vrednost funkcije spreminja, ko se spreminja njen vhod. V funkcijah z več spremenljivkami je sprememba vrednosti funkcije odvisna od smeri spremembe vrednosti neodvisnih spremenljivk. Zato je v takih primerih izbrana določena smer in funkcija se razlikuje v tej določeni smeri. Ta izpeljanka se imenuje usmerjeni izvod. Delni derivati ​​so posebna vrsta usmerjenih izpeljank.

Izvedena funkcija vektorske vrednosti f lahko določimo kot mejo kjer koli končno obstaja. Kot smo že omenili, nam to daje stopnjo povečanja funkcije f vzdolž smeri vektorja u. V primeru enovredne funkcije se to zmanjša na znano definicijo izpeljane,  

Na primer, je povsod diferenciran in izpeljanka je enaka meji, , kar je enako . Izpeljanke funkcij, kot so   obstajajo povsod. Funkcije so enake .                                                                                

To je znano kot prvi izpeljanka. Običajno je prvi derivat funkcije f je označen s f ⁽¹⁾. Z uporabo te notacije je mogoče določiti izpeljanke višjega reda. je usmerjena izpeljanka drugega reda in označuje n^th izpeljan z f ⁽ⁿ⁾ za vsakogar n, ,  definira n^th izpeljanka.

Kaj je razlika?

Diferencial funkcije predstavlja spremembo funkcije glede na spremembe neodvisne spremenljivke ali spremenljivk. V običajnem zapisu za določeno funkcijo f ene same spremenljivke x, skupna razlika v vrstnem redu 1 df je dobiti od, . To pomeni, da za neskončno minimalno spremembo v x(tj. dx), bo a  f ⁽¹⁾(x) dx sprememba v f.

Če uporabimo omejitve, lahko ta definicija sledi na naslednji način. Predpostavimo ∆x je sprememba v x v poljubni točki x in ∆f je ustrezna sprememba funkcije f. Lahko se pokaže, da je ∆f = f ⁽¹⁾(x) ∆x+ ϵ, kjer je the napaka. Zdaj je meja ∆x →0^∆f/_∆x= f ⁽¹⁾(x) (z uporabo predhodno navedene definicije izpeljanke) in s tem ∆x →0^ϵ/_∆x= 0. Zato je mogoče sklepati, da je ∆x →0ϵ = 0. Zdaj označimo ∆x →0 ∆f kot df in ∆x →0 ∆x kot dx definicija diferenciala je natančno pridobljena. 

Na primer, diferencial funkcije je .

V primeru funkcij dveh ali več spremenljivk je skupni diferencial funkcije definiran kot vsota diferencialov v smereh posameznih neodvisnih spremenljivk. Matematično ga lahko navedemo kot .