Razlika med kardinalnimi številkami in navadnimi številkami

Kardinal proti Ordinalu 
 

V našem vsakodnevnem življenju je uporaba številk lahko v različnih situacijah različnih oblik. Ko na primer štejemo, kako ugotovimo velikost zbirke predmetov, jih štejemo kot enega, dva, tri in tako naprej. Kadar želimo nekaj prešteti, da bi dobili občutek položaja predmetov, jih štejemo kot prve, druge, tretje in tako naprej. V prvi obliki štetja so številke kardinalne številke. V drugi obliki štetja štejemo števila kot zaporedna števila. V tem kontekstu sta pojma kardinal in ordinal popolnoma stvar jezikoslovja; kardinal in ordinal sta pridevnika.

Vendar razširitev pojma na matematiko razkriva veliko globlje in širše perspektive in jih ni mogoče obravnavati na preprost način. V tem članku bomo poskušali razumeti temeljne pojme kardinalnih in zaporednih števil v matematiki.

Formalne opredelitve kardinalnih in zaporednih števil so podane v teoriji množic. Opredelitve so zapletene in da bi jih razumeli v popolnem pomenu, je potrebno znanje teorije množic. Zato se bomo obrnili na nekaj primerov, da bomo koncepte razumeli hevristično.

Razmislimo o dveh sklopih 1,3,6,4,5,2 in avtobus, avto, trajekt, vlak, letalo, helikopter. Vsak niz vsebuje nabor elementov, in če štejemo število elementov, je razvidno, da ima vsak enako število elementov, to je 6. Ko pridemo do tega zaključka, smo vzeli velikost enega niza in ga primerjali z drugim z uporabo številka. Takšno številko imenujemo kardinalna številka. Zato lahko rečemo, da je kardinalna številka število, ki ga lahko uporabimo za primerjavo velikosti končnih nizov.

Prvi sklop števil lahko ponovno razporedimo po naraščajočem vrstnem redu glede na velikost posameznega elementa in jih primerjamo. V postopku naročanja štejejo številke kot kardinali. Prav tako lahko v množici naročimo nabor vseh negativnih celih števil; to je 0,1,2,3,4,…. Toda v tem primeru velikost nabora postane neskončna in podeliti v smislu ordinarij ni mogoče. Ne glede na to, kako veliko število izberete, da določite velikost nabora, bo iz nabora, ki ste ga izbrali, ostale številke, ki so negativna cela števila.

Zato matematiki definirajo ta neskončni kardinal (ki je prvi) kot Aleph-0, napisan kot א (prva črka v hebrejski abecedi). Formalno je zaporedna številka vrstni red dobro urejenega niza. Zato je lahko zaporedna številka končnih množic podana s kardinalnimi števili, pri neskončnih množicah pa je ordinalna številka podana s čezmernimi števili, kot je Aleph-0.

Kakšna je razlika med kardinalnimi in rednimi številkami?

• Kardinalna številka je številka, ki jo je mogoče uporabiti za štetje ali za določitev velikosti končno urejenega niza. Vse kardinalne številke so zaporedne.

• Redni številki sta številki, ki se uporabljata za določitev velikosti tako končnih kot neskončno urejenih nizov. Velikost končnih urejenih nizov je podana z običajnimi hindujsko-arabskimi algebrskimi številkami, neskončna velikost pa je podana s čezmejnimi števili.