Razlika med racionalnimi in iracionalnimi števili

Izraz „številke“ nam na pamet predstavlja tiste, ki so na splošno razvrščene kot pozitivne celoštevilčne vrednosti večje od nič. Vključujejo tudi druge razrede številk cele številke in frakcije, zapleteno in realne številke in tudi negativne celoštevilčne vrednosti.

Razširitev klasifikacij števil še naprej srečujemo racionalno in neracionalno številke. Racionalno število je število, ki ga lahko zapišemo kot ulomek. Z drugimi besedami, racionalno število lahko zapišemo kot razmerje dveh števil.

Vzemimo za primer številko 6. Lahko ga zapišemo kot razmerje dveh števil oz. 6 in 1, kar vodi v razmerje 6/1. Prav tako, 2/3, ki je zapisan kot ulomek, je racionalno število.

Tako lahko določimo racionalno število kot število, zapisano v obliki ulomka, pri čemer sta tako števec (število na vrhu) kot imenovalec (število na dnu) cela števila. Po definiciji je torej vsako celo število tudi racionalno število.

Razmerje dveh velikih števil, kot so (129,367,871)/(547.724.863) bi bil tudi primer racionalnega števila iz preprostega razloga, ker sta števec in imenovalec cela števila.

Nasprotno, katero koli število, ki ga ni mogoče izraziti v obliki ulomka ali razmerja, označujemo kot iracionalno. Najpogosteje citiran primer iracionalne številke je √2 (1.414213…). Drug priljubljen primer iracionalne številke je numerična konstanta π (3.141592… ).

Iracionalno število lahko zapišemo kot decimalno, vendar ne kot del. Neracionalne številke se v vsakdanjem življenju ne uporabljajo pogosto, čeprav obstajajo v številski vrstici. Med njimi je neskončno število iracionalnih števil 0 in 1 na številski vrstici. Iracionalna številka ima neskončne števke, ki se ne ponavljajo, desno od decimalke.

Upoštevajte, da je pogosto navedena vrednost 22/7 za konstanto π je v resnici le ena vrednost π. Po definiciji je obseg kroga, deljen s dvakratnim polmerom, vrednost π. To vodi do več vrednosti π, vključno z, vendar ne omejeno na, 333/106, 355/113 in tako naprej1.

Samo kvadratne korenine kvadratnih števil; tj. kvadratne korenine popolni kvadratki so racionalni.

√1= 1 (Racionalno)

√2 (Iracionalno)

√3 (Iracionalno)

√4 = 2 (Racionalno)

√5, √6, √7, √8 (Iracionalno)

√9 = 3 (Racionalno) in tako naprej.

Nadalje to ugotavljamo, samo nkorenine nmoči so racionalne. Tako je 6 korenina 64 je racionalen, ker 64 je 6 moč, in sicer 6 moč 2. Toda 6 korenina 63 je iracionalna. 63 ni popoln 6th moč.

Desetična reprezentacija iracionalnih neizogibno pride v sliko in prinese nekaj zanimivih rezultatov.

Ko izrazimo a racionalno številka kot decimalna številka, potem bo bodisi decimalna številka natančno (kot v 1/5= 0,20) ali pa bo nenatančen (kot v, 1/3 ≈ 0,3333). V obeh primerih bo predvidljiv vzorec številk. Upoštevajte, da ko neracionalno številka je izražena kot decimalna številka, potem bo jasno, da ne bo natančna, ker bi bilo sicer število racionalno.

Poleg tega ne bo predvidljivega vzorca števk. Na primer,

√2 ≈1.4142135623730950488016887242097

Zdaj se z racionalnimi številkami občasno srečujemo 1/11 = 0,0909090.

Uporaba obeh znakov enakosti (=) in tri pike (elipsa) pomeni, da tega ni mogoče izraziti 1/11 natančno kot decimalno številko jo lahko še vedno približamo s toliko decimalnimi števkami, kot je dovoljeno, da se približamo 1/11.

Tako decimalna oblika 1/11 se šteje za natančno. Iz istega razloga decimalna oblika  ¼ kar je 0,25, je točno.

Če pridejo v decimalno obliko za neracionalne številke, bodo vedno neizrazite. Nadaljujemo s primerom √2, ko pišemo √2 = 1.41421356237… (Upoštevajte uporabo elipse), to takoj pomeni, da ni decimalke za √2 bo natančen. Poleg tega ne bo predvidljivega vzorca števk. Znova uporabimo pojme iz numeričnih metod in si lahko racionalno približamo toliko decimalnih številk do te točke, da smo blizu √2.

Vsaka opomba o racionalnih in iracionalnih številkah se ne more končati brez obveznega dokaza, zakaj je √2 neracionalen. Pri tem razberemo tudi klasični primer a dokazilo nadradikacija.

Predpostavimo, da je √2 racionalen. To nas na primer privede do razmerja dveh celih števil str in q.

√2 = p / q

Odveč je reči, str in q nimajo skupnih dejavnikov, ker če bi obstajali kakšni skupni dejavniki, bi jih preklicali iz števca in imenovalca.

S kvadrata obeh strani enačbe zaključimo z,

2 = str2 / q2

To lahko priročno zapišemo kot,

str2 = 2q2

Zadnja enačba kaže na to str2 je enakomeren. To je mogoče le, če str sama je enakomerna. To posledično pomeni str2 je deljiv s 4. Od tod tudi, q2 in posledično q mora biti enakomerno. Torej str in q sta oba celo v nasprotju z našo prvotno domnevo, da nimata skupnih dejavnikov. Tako, √2 ne more biti racionalen. Q.E.D.