Razlika med določenimi in nedoločenimi integrali

Izračun je pomembna veja matematike in diferenciacija ima ključno vlogo pri računanju. Inverzni proces diferenciacije je znan kot integracija, inverzni pa znani kot integral, ali preprosto povedano, inverza diferenciacije daje integral. Glede na rezultate, ki jih proizvedejo, so integrali razdeljeni na dva razreda, tj. Določene in nedoločene integrale.

Določen Integral

Dokončni sestavni del f (x) je ŠTEVILO in predstavlja območje pod krivuljo f (x) iz x = a do x = b.

Določen integral ima zgornje in spodnje meje integralov in se imenuje dokončen, ker imamo na koncu problema številko - je dokončen odgovor.

Neomejeno integralno

Neomejen integral f (x) je FUNKCIJA in odgovarja na vprašanje: »Katera funkcija, ko se diferencira, daje f (x)?”

Z nedoločenim integralom tu ni zgornjih in spodnjih meja integralne točke, kar bomo dobili, je odgovor, ki še vedno obstaja xje v njem in bo tudi stalnica (ponavadi označena s C) v.

Neomejeni integral običajno daje splošno rešitev diferencialne enačbe.

Neomejeni integral je bolj splošna oblika integracije in ga je mogoče razlagati kot proti izpeljanki obravnavane funkcije.

Predpostavimo diferenciacijo funkcije F vodi v drugo funkcijo f, integracija f pa daje integral. Simbolično je to zapisano kot

F (x) = ∫ƒ (x) dx

ali

F = ∫ƒ dx

kjer oboje F in ƒ so funkcije x, in F je diferenciran. V zgornji obliki se imenuje Reimannov integral in nastala funkcija spremlja poljubno konstanto.

Neomejen integral pogosto proizvaja družino funkcij; zato je integral nedoločen.

Integrali in proces integracije so v središču reševanja diferencialnih enačb. Vendar za razliko od korakov v diferenciaciji koraki v integraciji ne sledijo vedno jasni in standardni rutini. Občasno vidimo, da rešitve ni mogoče izrecno izraziti v elementarni funkciji. V tem primeru je analitska rešitev pogosto podana v obliki nedoločenega integral.

Temeljni izrek računa

Določen in nedoločen integral povezuje Temeljni teorem izračuna, kot sledi: Za izračun a določen integral, Poišči nedoločen integral (poznano tudi kot anti-derivat) funkcije in ocenite na končnih točkah x = a in x = b.

Razlika med določenimi in nedoločenimi integrali bo očitna, ko ocenimo integrale za isto funkcijo.

Upoštevajte naslednji sestavni del:

V REDU. Naredimo oboje in vidimo razliko.

Za integracijo moramo v indeks dodati enega, ki nas vodi do naslednjega izraza:

V tem trenutku C je za nas zgolj stalnica. V težavi so potrebne dodatne informacije za določitev natančne vrednosti C.

Ocenimo isti integral v njegovi dokončni obliki, tj. Z vključenimi zgornjimi in spodnjimi mejami.

Grafično gledano zdaj računamo območje pod krivuljo f (x) = y³ med y = 2 in y = 3.

Prvi korak v tej oceni je enak neomejenemu celovitemu vrednotenju. Razlika je le v tem, da tokrat okoli ne dodajamo stalnice C.

V tem primeru je izraz naslednji:

To pa vodi k:

V bistvu smo v izrazu nadomestili 3 in nato 2 in dobili razliko med njima.

To je določena vrednost v nasprotju z uporabo konstante C prej.

Raziščimo konstantni faktor (glede na nedoločen integral) še nekoliko podrobneje.

Če je razlika y³ je 3y², torej

∫3y²dy = y³

Vendar pa, 3y² bi lahko bili različni številni izrazi, med katerimi so nekateri y³-5, y³+7, itd ... To pomeni, da preobrat ni edinstven, ker konstanta med delovanjem ni upoštevana.

Torej na splošno, 3y² je razlika y³+C kje C je katera koli stalnica. Mimogrede, C je znan kot "stalnica integracije".

To pišemo kot:

∫ 3y².dx = y³ + C

Integracijske tehnike za nedoločen integral, kot je iskanje tabel ali integracija Risch, lahko med integracijo dodajo nove diskontinuitete. Te nove diskontinuitete se pojavljajo, ker lahko anti-derivati ​​zahtevajo uvedbo kompleksnih logaritmov.

Kompleksni logaritmi imajo prekinitev skoka, ko argument prečka negativno realno os in algoritmi integracije včasih ne najdejo predstavitve, če ti skoki prekličejo.

Če se določeni integral oceni tako, da najprej izračunamo nedoločen integral in nato postavimo meje integracije v rezultat, se moramo zavedati, da lahko nedoločena integracija povzroči prekinitve. Če se zgodi, moramo poleg tega raziskati tudi prekinitve v integracijskem intervalu.