Razlika med serijami Power in Taylor Series

Serija Power vs Taylor Series

V matematiki je resnično zaporedje urejen seznam resničnih števil. Formalno gre za funkcijo od nabora naravnih števil do množice realnih števil. Če a_nje n^th izraz zaporedja, označujemo zaporedje z ali z a₁, a₂,…, A_n,… .Za primer upoštevajte zaporedje 1, ½, ⅓,… , ¹/_n,…. Lahko ga označimo kot 1 / n.

Mogoče je določiti niz z zaporedji. Niz je vsota izrazov zaporedja. Zato je za vsako zaporedje povezano zaporedje in obratno. Če_n je obravnavano zaporedje, potem je niz, ki ga tvori to zaporedje, lahko predstavljen kot:                                           

 Tako je v zgornjem primeru povezana serija 1+¹/₂+¹/₃+…  + ¹/_n +… . 

Kot nakazujejo imena, je serija moči posebna vrsta serij in se široko uporablja v numerični analizi in z njimi povezanem matematičnem modeliranju. Serija Taylor je posebna serija moči, ki omogoča alternativni in enostaven način predstavljanja dobro znanih funkcij.

Kaj je serija Power?

Serija moči je vrsta obrazca

    

ki je konvergenčen (po možnosti) za nek interval, osredotočen na c. Koeficienti a_n so lahko resnične ali zapletene številke in je neodvisna od x; t.j.. lutka spremenljivka.

Na primer z nastavitvijo a_n= 1 za vsakega n, in c = 0, serija moči 1 + x + x²+… + Xⁿ+… Je pridobljeno. Lahko je opaziti, da se ta številka moči, kadar je x ε (-1,1), zbliža v 1 / (1-x).          

Serija moči se zbliža, ko x = c. Druge vrednosti x za katero se serija moči zbliža, bo vedno v obliki odprtega intervala, osredotočenega na c. Tako je, bo vrednost 0≤ R ≤ ∞ takšne, da za vsakega x izpolnjujejo | x-c | ≤R, serija moči je konvergentna in za vsako x  zadovoljujoč | x-c |>R, serija moči je različna. Ta vrednost R se imenuje polmer zbliževanja nizov moči (R lahko vzame katero koli resnično vrednost ali pozitivno neskončnost).

Serije moči lahko seštejemo, odštejemo, množimo in delimo z naslednjimi pravili. Upoštevajmo dve vrsti moči:       

   

                               .

Potem,                 

t.j.. podobni izrazi se seštevajo ali odštevajo. Prav tako je mogoče množiti in deliti dve vrsti moči s pomočjo identitete,

Kaj je serija Taylor?

Za funkcijo je določena serija Taylor f(x), ki je v intervalu neskončno različna. Predpostavimo f(x) je mogoče razlikovati v intervalu s središčem na c. Nato serija moči, ki jo daje

                                                                                                                                

se imenuje razširitev funkcije iz serije Taylor f(x) o c. (Tukaj f⁽ⁿ⁾(c) Označuje n^th izpeljanka na x = c). V numerični analizi se končno število izrazov v tej neskončni razširitvi uporablja za izračun vrednosti v točkah, kjer je niz konvergenten prvotni funkciji.

Funkcija f(x) naj bi bilo analitično v intervalu (a, b), če je za vsak x ε (a, b) serija Taylor od f(x) konvergira v funkcijo f(x). Na primer, 1 / (1-x) je analitičen na (-1,1), saj je njegova Taylorjeva razširitev 1 + x + x²+… + Xⁿ+… Pretvori v funkcijo v tem intervalu in e^x  je analitična povsod, odkar je Taylorjeva serija e^xkonvergira v e^x za vsako resnično število x.

Kakšna je razlika med Power serijami in Taylor serijami?

1. Serija Taylor je poseben razred nizov moči, ki je določen samo za funkcije, ki so na nekem odprtem intervalu neskončno različne.

2. Serije Taylor imajo posebno obliko

        

ker je serija moči lahko poljubna vrsta obrazca