Razlika med ortogonalnim in ortonormalnim

Ortogonalno proti ortonormalnemu

V matematiki sta dve besedi pravokotni in ortonormalni pogosto uporabljeni skupaj z nizom vektorjev. Tu se izraz "vektor" uporablja v smislu, da gre za element vektorskega prostora - algebrsko strukturo, ki se uporablja v linearni algebri. Za našo razpravo bomo razmislili o notranjem izdelku - vektorskem prostoru V skupaj z notranjim izdelkom [] opredeljeno dne V.

Primer, za notranji izdelek je prostor množica vseh tridimenzionalnih vektorjev položaja skupaj z običajnim točkovnim izdelkom.

Kaj je pravokotno?

Popolna podskupina S notranjega prostora izdelka V naj bi bilo pravokotno, če in samo, če za vsakega izrazit u, v v S, [u, v] = 0; tj. notranjega izdelka u in v je enak nič skalarju v notranjem prostoru izdelka.

Na primer, v naboru vseh tridimenzionalnih vektorjev položaja je to enako, če rečemo, da je za vsak ločen par pozicijskih vektorjev str in q v S, str in q so pravokotne drug na drugega. (Ne pozabite, da je notranji produkt v tem vektorskem prostoru pični izdelek. Prav tako je pični produkt dveh vektorjev enak 0, če in samo, če sta dva vektorja pravokotna drug na drugega.)

Razmislite o naboru S = (0,2,0), (4,0,0), (0,0,5), ki je podniz tridimenzionalnih vektorjev položaja. Upoštevajte, da je (0,2,0). (4,0,0) = 0, (4,0,0).(0,0,5) = 0 & (0,2,0).(0,0,5) = 0. Torej, množica S je pravokoten. Zlasti za dva vektorja velja, da sta pravokotna, če je njun notranji produkt 0. Zato je vsak par vektorjev v Sje pravokoten.

Kaj je ortonormalno?

Popolna podskupina S notranjega prostora izdelka V naj bi bilo ortonormalno, če in samo če S je pravokoten in za vsak vektor u v S, [u, u] = 1. Zato je razvidno, da je vsak ortonormalni niz pravokoten, ne pa obratno.

Na primer, v naboru vseh tridimenzionalnih vektorjev položaja je to enako, če rečemo, da je za vsak ločen par pozicijskih vektorjev str in q v S, str in q so pravokotni drug na drugega in za vsakega str v S, | p | = 1. To je zato, ker je pogoj [p, p] = 1 zmanjša na p.p = | p || p |cos0 = | p |²= 1, kar je enako | p | = 1. Zato lahko glede na pravokotno množico vedno oblikujemo ustrezen ortonormalni niz tako, da delimo vsak vektor na njegovo velikost.

T = (0,1,0), (1,0,0), (0,0,1) je ortonormalna podmnožica vseh treh tridimenzionalnih vektorjev položaja. Zlahka je videti, da je bila pridobljena z deljenjem vsakega od vektorjev v nizu S, po velikosti.

Kakšna je razlika med ortogonalnim in ortonormalnim?

• Popolna podskupina S notranjega prostora izdelka V naj bi bilo pravokotno, če in samo, če je za vsako posebej u, v v S, [u, v] = 0. Vendar pa je ortonormalno, če in samo, če dodatni pogoj - za vsak vektor u v S, [u, u] = 1 je zadovoljen.
• Vsak ortonormalen niz je pravokoten, ne pa obratno.
• Vsak ortogonalni niz ustreza edinstvenemu ortonormalnemu nizu, vendar lahko ortonormalni niz ustreza številnim ortogonalnim nizom.