Razlika med Fourierjevo serijo in Fourierjevo transformacijo

Fourier Series proti Fourier Transform

Fourierjeva serija razgrajuje periodično funkcijo na vsoto sinusov in kosinusov z različnimi frekvencami in amplitudami. Fourierjeva serija je veja Fourierjeve analize in jo je uvedel Joseph Fourier. Fourierjeva transformacija je matematična operacija, ki prekine signal na svoje sestavne frekvence. Prvotni signal, ki se je sčasoma spreminjal, imenujemo predstavitev časovne domene signala. Fourierova transformacija se imenuje frekvenčna reprezentacija signala, saj je odvisna od frekvence. Predstavitev frekvenčne domene signala in postopek, ki se uporablja za pretvorbo tega signala v frekvenčno domeno, se imenujeta Fourierova preobrazba.

Kaj je Fourierjeva serija?

Kot smo že omenili, je serija Fourier širitev občasne funkcije z uporabo neskončne vsote sinusov in kosinusov. Fourierjeva serija je bila sprva razvita pri reševanju toplotnih enačb, kasneje pa je bilo ugotovljeno, da lahko isto tehniko uporabimo za reševanje velikega števila matematičnih problemov, zlasti problemov, ki vključujejo linearne diferencialne enačbe s konstantnimi koeficienti. Zdaj je serija Fourier uporabljena na številnih področjih, vključno z elektrotehniko, vibracijsko analizo, akustiko, optiko, obdelavo signalov, obdelavo slik, kvantno mehaniko in ekonometrijo. Fourierjeve serije uporabljajo pravokotna razmerja sinusnih in kosinusnih funkcij. Izračun in preučevanje Fourierjeve serije je znan kot harmonska analiza in je zelo uporaben pri delu s poljubnimi periodičnimi funkcijami, saj omogoča razčlenitev funkcije na preproste izraze, ki jih lahko uporabimo za rešitev rešitve izvirnega problema.

Kaj je Fourierova preobrazba?

Fourierova transformacija določa razmerje med signalom v časovni domeni in njegovo predstavitvijo v frekvenčni domeni. Fourierova transformacija razgradi funkcijo na oscilatorne funkcije. Ker gre za transformacijo, lahko izvirni signal dobimo, če poznamo preobrazbo, zato se v procesu ne ustvarijo ali izgubijo informacije. Študija serije Fourier dejansko zagotavlja motivacijo za Fourierjevo preobrazbo. Zaradi lastnosti sinusov in kosinusov je mogoče obnoviti količino vsakega vala, ki prispeva k vsoti z uporabo integral. Fourierova transformacija ima nekatere osnovne lastnosti, kot so linearnost, prevajanje, modulacija, skaliranje, konjugacija, dvojnost in zvijanje. Fourierova transformacija se uporablja pri reševanju diferencialnih enačb, saj je Fourierova transformacija tesno povezana z Laplasovo transformacijo. Fourierova transformacija se uporablja tudi v jedrski magnetni resonanci (NMR) in pri drugih vrstah spektroskopije.

Razlika med Fourierjevo serijo in Fourierjevo transformacijo

Fourierjeva serija je širitev periodičnega signala kot linearne kombinacije sinusov in kosinusov, medtem ko je Fourierjeva transformacija postopek ali funkcija, ki se uporablja za pretvorbo signalov iz časovne domene v frekvenčno. Za periodične signale je določena serija Fourierja in Fourierova transformacija se lahko uporabi za aperiodne (potekajo brez periodičnosti) signale. Kot že omenjeno, študija serije Fourier dejansko zagotavlja motivacijo za Fourierjevo preobrazbo.