Razlika med aritmetično sekvenco in geometrijsko sekvenco

Aritmetična zaporedja proti geometrijskemu zaporedju
 

Študij vzorcev števil in njihovega vedenja je pomembna študija na področju matematike. Pogosto lahko te vzorce vidimo v naravi in ​​nam pomaga razložiti njihovo vedenje z znanstvenega vidika. Aritmetična zaporedja in geometrijska zaporedja sta dva osnovna vzorca, ki se pojavljata v številu in jih pogosto najdemo v naravnih pojavih.

Zaporedje je niz urejenih števil. Število elementov v zaporedju je lahko končno ali neskončno.

Več o aritmetični sekvenci (aritmetična progresija)

Aritmetično zaporedje je opredeljeno kot zaporedje števil s konstantno razliko med vsakim zaporednim izrazom. Znan je tudi kot aritmetična progresija.

Aritmetična sekvenca ⇒ a₁, a₂, a_3, a₄,…, A_n ; kje₂ = a₁ + d, a₃ = a₂ + d in tako naprej.

Če je začetni izraz a₁ in skupna razlika je d, potem je n^th izraz zaporedja je podan z;

a_n = a₁ + (n-1) d

Z nadaljevanjem zgornjega rezultata je n^th izraz se lahko navede tudi kot;

a_n = a_m + (n-m) d, kje_m je naključni izraz v zaporedju, tako da n> m.

Nabor parnih števil in nabor neparnih števil sta najpreprostejši primeri aritmetičnih zaporedij, kjer ima vsako zaporedje skupno razliko (d) 2.

Število izrazov v zaporedju je lahko neskončno ali končno. V neskončnem primeru (n → ∞) se zaporedje nagiba v neskončnost, odvisno od skupne razlike (a_n → ± ∞). Če je skupna razlika pozitivna (d> 0), zaporedje teži k pozitivni neskončnosti in, če je skupna razlika negativna (d < 0), it tends to the negative infinity. If the terms are finite, the sequence is also finite.

Vsota izrazov v aritmetičnem zaporedju je znana kot aritmetična serija: S_n= a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + ⋯ + a_n = ∑_{i = 1 → n} a_jaz; in S_n = (n / 2) (a₁ + a_n) = (n / 2) [2a₁ + (n-1) d] daje vrednost niza (S_n).

Več o Geometrijski zaporedju (Geometric Progression)

Geometrijsko zaporedje je opredeljeno kot zaporedje, v katerem je količnik katerega koli dveh zaporednih izrazov konstanta. To je znano tudi kot geometrijska progresija.

Geometrijsko zaporedje ⇒ a₁, a₂, a₃, a₄,…, A_n; kje₂/ a₁ = r, a₃/ a₂ = r in tako naprej, kjer je r resnično število.

Lažje je predstavljati geometrijsko zaporedje s skupnim razmerjem (r) in začetnim izrazom (a). Od tod geometrijsko zaporedje ⇒ a₁, a₁r, a₁r², a₁r³,…, A₁r^n-1.

Splošna oblika n^th pogoji, ki jih je dal_n = a₁r^n-1. (Izguba podpisa začetnega izraza ⇒ a_n = ar^n-1)

Geometrično zaporedje je lahko tudi končno ali neskončno. Če je število izrazov končno, se zaporedju reče, da je končno. In če so izrazi neskončni, je lahko zaporedje neskončno ali končno, odvisno od razmerja r. Skupno razmerje vpliva na številne lastnosti v geometrijskih zaporedjih. 

r> o	0 < r < +1	Zaporedje se zbliža - eksponentni razpad, tj. An → 0, n → ∞
	r = 1	Stalno zaporedje, tj. An = konstanta
	r> 1	Zaporedje se razlikuje - eksponentna rast, t.j.n → ∞, n → ∞
r < 0	-1 < r < 0	Zaporedje niha, vendar se zbližuje
	r = 1	Zaporedje je izmenično in konstantno, tj. An = ± konstanta
	r < -1	Zaporedje se spreminja in razhaja. t.j.n → ± ∞, n → ∞
r = 0	Zaporedje je niz ničel

N.B: V vseh zgornjih primerih a₁ > 0; če₁ < 0, the signs related to a_n bo obrnjeno.

Časovni interval med odbojnimi kroglicami sledi geometrijskemu zaporedju v idealnem modelu in je konvergentno zaporedje.

Vsota izrazov geometrijskega zaporedja je znana kot geometrijska serija; S_n = ar + ar² + ar³ + ⋯ + arⁿ = ∑_{i = 1 → n} ar^jaz. Vsoto geometrijskih nizov lahko izračunamo po naslednji formuli.

S_n = a (1-rⁿ ) / (1-r); kjer je a začetni izraz in r razmerje.

Če je razmerje r = ≤ 1, se serija zbliža. Pri neskončnem nizu vrednost konvergence poda S_n = a / (1-r) 

Kakšna je razlika med aritmetično in geometrijsko zaporedjem / napredovanjem?

• V aritmetičnem zaporedju imata vsaka dva zaporedna pojma skupno razliko (d), medtem ko imata vsaka dva zaporedna pogoja stalen količnik (r).

• V aritmetičnem zaporedju je variacija izrazov linearna, to je, da lahko skozi vse točke potegnemo ravno črto. V geometrijskem nizu je variacija eksponentna; bodisi rastejo ali razpadajo na podlagi skupnega razmerja.

• Vse neskončne aritmetične sekvence se razlikujejo, medtem ko so neskončne geometrijske serije lahko divergentne ali konvergentne.

• Geometrijska serija lahko pokaže nihanje, če je razmerje r negativno, medtem ko aritmetična serija ne prikazuje nihanja